(株) 花まるラボ 川島 慶
東京大学 入学試験 数学(理系) ポイント解説
東大入試の総括コラムも掲載しておりますので、ぜひ併せてご覧ください。
第１問
この問題のポイントは、
cos3θ=4cos3θ-3cosθ
cos2θ=2cos2θ-1
で、g(θ)の上辺は、cosθの３次関数ですが、cos0=1から、
cos3θ-1=(cosθ-1){cos2θ+cosθ+1}
cos2θ-1=(cosθ-1)(cosθ+1)
と因数分解できるため、g(θ)の上辺は分母である(cosθ-1)で割り切れ、g(θ)はcosθの２次関数となることに気づけるかというところです。
つまり、一見みえにくくなっていますが、(2)は、二次関数の基本的な最大・最小問題に過ぎないのです。
余談ですが、cos2θやcos3θは覚えるようなものではなく、「覚えてしまう」ものです。
三角関数の諸公式はもっとも基本的な定理のひとつである加法定理から導出できるので、都度導く経験をしていれば、「覚えてしまう」ものなのです。
第２問
この問題は、二次元ランダムウォークをテーマにした問題です。
一見複雑に見える問題を解決できるように定式化することが、数学に求められる大切な力のひとつであり、本問題の（おそらく東大が求めているであろう）アプローチ方法です。
(1)では、ｎ秒後の点Pの座標を(xn,yn)とおくと、６秒後にｘ座標とｙ座標が等しい。
すなわち、x６-y６=0になるような変化を考えることで、中学受験算数でも基礎学習として習う「道順の最短経路問題」に本質的には定式化されます。
(2)ではそれに加えて、６秒後に原点に集まるということは、ｘ6+y6=0であると定式化できるかどうかがポイントです。
ｘ6-y6=0となる経路もｘ6+y6=0となる経路も同じであるので、(1)を２乗すれば、答えが求まります。
なお、この問題は、(2)を「点Pが最初から２N秒後に原点Oにある確率」としても{2NCN(1/2)2N}2と求められます。数十年前であれば、そのような出題であったかもしれません。場当たり的に解いても、一応正解には辿りつけるような出題者側の配慮、葛藤が感じられ、同時に、次代の受験生にはこの考察のような、「より深い課題の発見、解決」を味わってきて欲しいというメッセージも感じられます。
ちなみに、本問にかなり趣旨の近い問題が、1972年の後期試験で出題されています。
第３問
複素数平面に関する、極めてシンプルな出題です。似たような問題を解いた経験のある受験生も多いことでしょう。テストとしての篩い分けの機能を果たすための、出題者の苦悩や葛藤が感じられます。
学習指導要領の変遷に伴い、「複素平面」と、「行列の１次変換および微分方程式」は概して交互に入れ替わってきました。個人的には複素平面は高校数学に標準的に取り入れてほしいと願います。理由は２つあり、１つは、複素平面の学習からは、良い出会いがあれば、高校数学において随一といえるほどの知的躍動を学生が得ることができるからです。筆者自身も初めて学習した時に感動したことを鮮明に覚えています。
もう１つは、複素平面を学習しなければ、虚数 i を学習した際に一般の学生が抱くであろう、「なんでこんな”実際にはない数”のことを学ばなくてはいけないの？」という疑問に、高校数学のカリキュラムとして答えにくいからです。この問いの答えを一言でいえば、「”実際にはない数”を定義することで、世界が拓けるから。今までに解決できなかった現象を説明できるようになるから。」ですが、複素数を視覚的に表現するもっとも簡便な方法が複素平面であり、電気回路(特に交流電源、コンデンサー、コイル、抵抗をつけた回路)を表現、理解するのに非常に役立つのです。
個人的には、微分方程式も、ぜひ高校生に学んでほしいと思います。なぜなら、数学が人間生活を豊かにするための「道具」となった革新的な発見が、他ならぬ微分方程式であり、現代社会において、実に様々な分野で活用されているものだからです。
ちなみに、東大後期試験では、学習指導要領の枠にとらわれず、微分方程式が試験範囲の対象とされており、微分に関する問題が出題されていました（現在は後期試験は廃止されています）。
第４問
(1) に関しては、ほぼ同じ趣旨の問題が2003年の第４問に出題されています。
見た目はもちろん変わっていますが、p=2+√5 に対し、-(1/p)=2-√5 はすぐ導けるので、東大入試の最大の対策である「過去問を一問一問じっくり味わう」経験をしていれば、2003年のそれと答えまで重なることに気付くことでしょう。
(4) はユークリッドの互除法が背景にある、とても美しい問題です。
ユークリッドの互除法とは、最大公約数を求めるための手法のひとつであり、簡単に言うと、
220と121の最大公約数を求める際に、
220と121をどちらも割ることができるのであれば、220を121で割った余りである99と121も同じ数で割ることができる。同様に22と99も同じ数で割ることができる…といったことを繰り返せば、どんなに大きい２数でも最大公約数を求められる。
といったことを一般化した手法です。
これを使うと、(4)は簡明に解くことができ、(1)で求めた4と18の最大公約数が答えになるということも、本問のお洒落なところです。
ちなみにユークリッドの互除法を背景にした問題は、過去に2005年の大問4でも出題されています。
第５問
問題自体は、多くの受験が全く同じ設定を見たことはないであろうものの、二次関数の共通接線がテーマである基本的な問題です。
この問題が東大で出題される理由は、今までもそうであったように、試験を終えた受験生が、もしくはこれから過去問を通して学習する受験生が、出題された問題より、さらに深い問いをここから発見し得る点にあります。
(2) では傾きが２のときに、共通接線が３本存在することを示すことが課されていますが、
発展課題としては、「ではどういった時に共通接線は３本になるのか」といった探求テーマがあります。
簡潔に書くと、 a=-1 の１本の共通接線を持ち、
k= (a2-a+1)/(4a)・・・①
①をaについて整理した
a2-(4k+1)a+1=0 がa=-1を除く相異なる実数解を持つ時に、共通接線を３本もつといえ、その範囲は k>(1/4) , k<-(3/4)です。
-(3/4) < k < 1/4 では、 １本。
k = 1/4 , もしくは k=-(3/4)のときは a=-1 となり、①の前提がそもそも成り立ちませんが、a=-1はすべてのkについて、そもそも共通接線となるので、１本の接線をもちます。
特にk=-(3/4)のときは「あれ、これは共通接線と呼んでいいのか」と疑問を持つような面白い接し方をしています（実際はこれも共通接線と呼べます）。
第６問
今年最大の難問でしょう。よくある解き方は他社の解答速報ページに譲るとして、ここでは、よりエレガントに解ける別解を紹介します（3月3日現在で確認した限り、この別解はどのサイトにも載っていません）。
そしてこの別解は、なぜわざわざ(1)でθのとりうる値の範囲（π/6<θ<5π/6）を求めさせたのかという、出題者の意図を汲んだ、おそらく出題者が用意していた解き方であると思います。
(2)の通過領域であるKは、図の斜線部分を、x軸回りに回転した範囲です。
曲線が極座標で表されている場合、θ=α , θ=β , 原点からの距離 r=f(θ) で囲まれた部分を始線（本問でいうx軸）のまわりに１回転して得られる立体の体積Vは一般に
V = α∫β (2/3)πr3sinθdθ で求められます。
本問の場合、なんと、r=1であるため、上式に代入すると V =(2/3)π π/6∫5π/6 sinθdθ となり
V = (2√3/3)π と一瞬で求めることができます。
第6問における満点20点をとるためには、使った定理の証明を書いておいた方がよいですが、この別解であれば、２つの理由で、証明を書かなくても多くの点をもらえることと思います。
ひとつの理由は、(1)で∠AOPのとりうる範囲を求めさせたにもかかわらず、一般的な解き方では、本問の核心である (2)では∠AOPどころか、A(1,0,0)を全く使っていないことがやや不自然で、それらを十分にふまえた、出題者の意図に沿った解法であるということです。
もうひとつの理由は、x軸に垂直な面で切った断面積よりも、極座標で表した方がより簡明な関数で表すことができ（r=1というこれ以上ないくらいシンプルな式）、すなわち極座標を利用した体積の導き方の方が発想として自然であり、エレガントであるからです（数学において、「エレガントさ」というのはとても大切なテーマの１つ）。
今回使用した定理は、一般的な教科書には載っていません。
東大は学習指導要領の範囲を越えた問題を60年前から確信犯的に出題してきており、むしろ指導要領を越えた内容について、意欲的に取り組んできた人に対して有利な入試になっています。
とはいえ、本問は、知識・テクニックのみで解ける、もしくは知らないと解けないというような問題でもありません。
曲線が連続関数として、極座標表示されている場合、r=r(θ)で表される曲線とθ=α,βで囲まれる部分の面積は α∫β (1/2)r2(θ)dθ で表されることは、東大を受ける全受験生が知っている知識であると思います。が、さらに一歩踏み込んだ「始線の回りに１回転して得られる体積は求められるのだろうか」と新たな問題を発見し、学習してきたような人を東大は求めているというメッセージとして、私は受け取りました。
極座標表示をした時に、それ以外の解法よりも圧倒的にエレガントに解ける過去の問題としては2004年の第3問などがあります。
東大入試数学総括コラムはこちら（世界一美しい東大入試 その問題に隠されたメッセージを紐解く）
川島 慶
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